求和记号 - 彩色打印版
求和记号是使用希腊大写字母 \(\sum\) 来表示求和运算的数学符号。
一般形式：\(\sum_{r=1}^{n} f(r)\) 表示从 \(r=1\) 到 \(r=n\) 的所有 \(f(r)\) 的和。
\[\sum_{r=1}^{n} f(r)\]
其中：\(\sum\) 是求和符号，\(r\) 是求和变量，\(1\) 是起始值，\(n\) 是结束值，\(f(r)\) 是被求和的表达式
\(\sum_{r=1}^{n} 1 = n\)
\(\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}\)
\(\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
题目：计算 \(\sum_{r=3}^{7} (5 \times 2^r)\)
解答：
将 \(r = 3, 4, 5, 6, 7\) 分别代入表达式：
\(\sum_{r=3}^{7} (5 \times 2^r) = 5 \times 2^3 + 5 \times 2^4 + 5 \times 2^5 + 5 \times 2^6 + 5 \times 2^7\)
\(= 5 \times 8 + 5 \times 16 + 5 \times 32 + 5 \times 64 + 5 \times 128\)
\(= 40 + 80 + 160 + 320 + 640 = 1240\)
题目：计算 \(\sum_{r=1}^{20} (4r + 1)\)
解答：
这是一个等差数列的求和：
\(\sum_{r=1}^{20} (4r + 1) = 5 + 9 + 13 + ... + 81\)
首项 \(a = 5\)，公差 \(d = 4\)，项数 \(n = 20\)
使用等差数列求和公式：
\(S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)
\(S = \frac{20}{2}(2 \times 5 + 19 \times 4) = 10 \times 86 = 860\)
题目：计算 \(\sum_{k=1}^{12} 5 \times 3^{k-1}\)
解答：
这是一个等比数列的求和：
\(\sum_{k=1}^{12} 5 \times 3^{k-1} = 5 + 15 + 45 + ...\)
首项 \(a = 5\)，公比 \(r = 3\)，项数 \(n = 12\)
使用等比数列求和公式：
\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)
\(S_{12} = \frac{5(3^{12} - 1)}{2} = \frac{5 \times 531440}{2} = 1328600\)
在使用求和记号时，要特别注意：
1. 求和变量的取值范围
2. 被求和表达式的正确性
3. 求和记号与数列求和公式的关系
4. 部分求和的计算方法
1. 混淆求和变量的取值范围
2. 错误识别被求和的表达式
3. 计算时遗漏某些项
4. 混淆求和记号与数列求和公式